《探索》杂志人物介绍——丘成桐

来源:数学科学研究中心

《探索》杂志人物介绍——丘成桐

 

 

这位有声望的数学家讲述他是如何绘制宇宙的几何,并且发现了弦理论的额外维度。(作者——帕米拉•文特芮博;摄影——西门•塔葛特)

 

    丘成桐是一位自然科学的大师。他最为出名之处在于勾勒出了弦理论中的数学。弦理论认为从世界的最深层次来观察,我们的宇宙是由比原子还要小的震动的弦所构成的十维时空。但是丘成桐的天才理论走得更远更宽:他发展了当代几何学与物理学之间的深刻联系,领导了一支空前的数学研究团队,并且帮助中国蕴育一次学术研究的新生。

    丘成桐出身于贫寒、经历磨难的香港农村,后进入加州大学伯克利分校学习,师从华裔微分几何学家——陈省身以及非线性分析大师查尔斯·莫雷。丘成桐在29岁时证明了卡拉比猜想,论断在人们认识的真实世界之后存在隐藏的六维空间。这些未知的维度空间补充了爱因斯坦广义相对论中描述的四维空间——三个空间维度和一个时间维度,从而给弦理论带来了严格的数学基础。

    从那以后,丘成桐先后在普林斯顿高等研究院、斯坦福大学和哈佛大学(目前是哈佛大学数学系主任)任教,培养了整整两代研究生,并且从事着广泛的学术合作与交流,议题涉及暗物质的特质到黑洞的形成。他获得了菲尔兹奖、沃尔夫奖、克拉夫特奖。

    至始至终,丘成桐还是保持坦率直言的性格。在中国,他呼吁不应由不称职的院士把持学术要职,以便让有能力者担当重任。在美国,他批评年轻学者中频频出现的数学证明中的错误。他还努力和社会公众直接对话;他与斯泰福•纳迪合著的著作《内在空间的形态》,计划将于今年秋季出版发行。他于今年二月,在哈佛大学办公室和《探索》杂志高级编辑帕米拉•文特芮博会晤了大约4日,谈论他的生活和工作。

 

您提到过您的父亲对您的志向有巨大的影响。您能谈谈他么?

 

    他去日本学习经济学,但是当1937年日本入侵中国时,他返回中国以支援抗日。在大战末期他为联合国工作,负责给穷人分发食物和衣服。在1949年的中国内战之后,他担心卷入当时政治上的一些麻烦,因此带着全家来到香港。当时我们很穷——起初我们几乎挨饿——但是我爸爸仍然坚持不懈地在家里带了一大群学生,教授他们哲学和文学。我那时101112岁,我也习惯于进行抽象推理。我父亲让我们背诵散文和诗歌。我并不理解这些诗词散文的具体意思,但是我记住了它们并且受益终身。

 

您过去是否曾经有一段时间很叛逆?

 

    我悄悄地阅读了大量武侠小说。我退学了半年之久。但我还是醒悟过来了,告诉自己要前进,我花了整个白天去爬山,然后才回家——但是我仍然做了我爸爸给我布置的家庭作业。

 

我听说你曾经一度是个孩子王。

 

    有很多我的朋友跟着我,在街上游荡,有时我们和其他同龄人之间发生矛盾,就用打架解决。就是这样。

 

您如何从一个莽撞冲动的年轻人成长为现在的优秀人士呢?

 

   1960年代早期,我父亲是香港大学文学和哲学系的主任。香港大学的校长想和台湾政府协商派送间谍。我父亲拒绝接受委派,于是被炒鱿鱼。这样八个孩子的抚养就成了一个很大的经济问题。我父亲不得不在不同的、有一定距离的高校之间奔波,以养家糊口。在大陆时,他曾经借给一位朋友一些钱,在大陆解放之后,这位朋友移居香港的近邻城市澳门,并且开了他自己的学校。因此他告诉我爸爸:“我还不出你的钱,但是你女儿可以就读我的学校,我会给她免费提供住处,而且免除学费。”于是我大姐去了澳门上学,不久她患上了感冒,一种古怪的病症,我们也搞不清楚究竟是怎样的病。她回来医治,但还是在1962年去世了。然后我大哥患上了一种脑病,当时我们也不知道是什么病。我父亲的肩膀承担了所有的生活重担,最后他也病倒了,我相信他患的是癌症,但是当时我们对这种病了解得并不多。我母亲四处奔走借钱,想治好父亲的病。最后我们虽然获得了一些资助,但是已经太晚了。1963年,父亲在住院之后两个月就去世了,当时我正在上九年级。我们无力继续完成学业,都辍学了。这时我意识到只能自己做出未来人生的选择。

 

您然后怎样做的呢?

 

    过了一段时间,政府向我们出租了一块土地,幸亏有朋友们资助的钱,我们得以盖起一栋房子,但是房子位于郊外,和学校的距离遥远。其他孩子都因为我们家境变穷而瞧不起我们。我不得不央求校长允许我在年末拿到政府的奖学金之后,再支付学费。这是很羞耻的事情,但是我努力学习而且学得很出色,尤其是数学。之后我爸爸以前的一位学生在离我学校很近的地方开办了一家初级中学。他说我可以帮他教授数学课程,并且在那里住宿过夜。我开始自己照顾自己,洗自己的衣物,凡此种种艰辛。但是我学会了如何谋生计。

 

您考进大学后,发生了什么?

 

    我很早就痴迷于数学,但是在香港中文大学,我意识到数学就是按部就班的学习。很快的,我就在没有听课的情况下参加所要求完成的数学必修课程的考试,同时花时间去学习更高级的课程,没有人发觉我的行为。在大二的时候,史迪芬•萨拉夫,一位从加州大学伯克利分校来的年轻数学家,开始在香港任教。他喜欢用美国人的方式和学生交谈,他在讲课的时候喜欢向学生提问。我发现其实我对他的帮助,比他对我的帮助要多。因为很多他不能在课堂上解决的问题我可以帮他解决,萨拉夫建议我可以早点申请研究生院。后来,我被加州大学伯克利分校录取,并获得奖学金。我从朋友那里借了些钱,于19699月来到旧金山就读。

 

您到了加利福尼亚时,对加利福尼亚是怎样看的?

 

    首先最让我印象深刻的是这里的空气。在香港,空气潮湿炎热,但是在加州天气凉爽,空气清新。我想这里像是天堂。萨拉夫的一位朋友驱车到机场接我,并把我送到基督教青年会。我和四到五个人住一间大房。我注意到美国人都喜欢看电视里面的棒球赛。我们屋子里没有电视机。睡在我边上的邻居是一个身材高大的黑人。他说话的口音是我闻所未闻的。他说:“伙计,你他娘的到底从哪里来的?”这很滑稽,因此我必须寻找一间公寓。我在路上遇到了另外一位从香港来的华裔学生,于是我们决定同租住房,但是我们付不起租金。我们到处寻找,找到了另一个华裔同学,从台湾来的,因此我们有三个人,但是仍然不够。然后我们又遇到一位学数学的阿拉斯加人。于是我们四人聚到一起租房,每个人月租60美元。我的奖学金是一个月300美元,我把一半的钱寄回家里。

 

您那时候的数学学习怎么样?

 

    我的知识有很多空缺,因此我早起8点钟开始上课。为了获得学分我选了三门正式课程,其余课程都是旁听。我自己带了午饭,所以即便是在午餐时间,我也是在教室学习。我对拓扑学尤其感兴趣,因为我觉得它有助于揭示空间结构。爱因斯坦在其方程式中使用几何,给出了局部图象:在我们的太阳系、或者银河系周围,空间如何弯曲。但是爱因斯坦方程式不能给出整体的图象,也就是宇宙的整体结构。从而可以引进拓扑学。

 

什么是拓扑学?它像几何学么?

 

    几何学是精细的,而拓扑学刻画的是一般性质。拓扑学家研究更大形状的样式和范畴。例如,在几何学上,一个立方体的表面和球面是不一样的。但是在拓扑学上,它们是相同的,因为你能够将其中一个形变到另一个,而无需从表面切开。但是圆环面,一个中间有个洞的球面,在拓扑上就是不同的。因为你不论如何扭曲都不能将其形变为一个球面。

   

那是否意味着几何学和拓扑学是对同一种事物的两种观察?

 

    是的。这很像中国文化。一首可能是描述爱人之间的别离的诗,在这首诗的语言中,用叶子柔软而下垂的柳树来代替男女。枝条下垂的方式很像男女渴望相守的感觉。几何学给我们展示的是一个完整的详尽的柳树的结构的图像。拓扑学描述了树的形状而未及细节——但是如果没有树作为开始,我们什么也不能得到。

    令我惊异的是针对相同的事物,仁者见仁,智者见智的情况。我的物理学的朋友仅仅是从真实的物理规律的角度来看待时空,然而广义相对论却通过几何学来描述时空,因为这是爱因斯坦着眼于问题的出发点。

 

您通过几何学和拓扑学的角度来看世界,从中获得了什么?

 

    非线性方程式是基本的,因为在自然界,弯曲到处存在。气候不是线性的。如果风吹的强度是线性的,那么会给那里带来巨大灾难,它甚至依赖于地球的几何。你经常会发现人们用线性方程式和直线去描述股票市场,但是这实际上是不精确的。股市是以一种非线性的方式上下波动。爱因斯坦方程描述了宇宙的曲率,这是非线性的。我从一位大师那里学到了非线性方程,虽然我那时候并不知道他是一位大师,他叫查尔斯•莫雷,是一位传统的绅士。他在课堂上总是穿着西装。他是一个很好的人。即使只有我一个人在听讲,他也如同给全班学生讲解一般给我讲课。

 

等等——您有时是他班级唯一的学生?

 

莫雷从不使用现代的记号。他的书很难读。在肯特市也发生过类似的事情,学生和教员都罢课,但是莫雷仍然坚持在讲课,很快,其他人都放弃了,整个课堂就只剩下我一个人。

 

 

接下来在您的数学探索生涯中,发生了什么?

 

圣诞假期我没能回家,因此我把假期时间花在图书馆阅读所有期刊和珍贵书籍上。那是我第一次遇到我的妻子,尽管之后很久我们才正式认识。通过这些有关拓扑学方面的阅读,我碰到一个定理,它讲述的是关于曲率为负,也就是弯曲的形状像马鞍一样的那些地方上的环路。这个定理说当我们有两个这样的环路,都以同一个点作为顶点,什么时候它们是不能通过弯曲或者扭曲形变到另一个,除非它们相同或者是相差一个乘数。我得到一个相关的定理:如果曲率是负的或者是零,并且环路是共形的,那么在这个空间的内部一定有一个低维的曲面,特别地它是一个环面。

 

一个低维度如何置于一个高维度之内?

 

    想象一下把一个橡胶带贴在咖啡杯的手柄上,杯子有三维,但是橡胶带只是一条弯曲的线,只有一个维度。

 

为什么任何人而不只是数学家都应该关注隐藏在更高维空间里面的圆环面或者弦?

 

因为拓扑学能够影响和约束物理世界中的几何学。例如,如果水沿着一个球体表面流过,那么球面上必定有两个点水流是静止的。在一个由海洋覆盖的星球,水流的方向不可能在任何地方都一样,比如说从东向西。考虑拓扑学的另一个案例,在环面上水流就可以川流不息,环面上就不存在使水流静止的点,因为洞的存在打通了水流的道路。对于每个固定的拓扑,几何学都遵守不同的法则。

 

换言之,您意识到拓扑学为几何学规定了基本的规则,它们轮流影响我们的周围世界。但是,您又走得更远,追问空间的隐藏的结构是否可以解释物理规律。这是怎样一回事?

 

我开始研究复流形。一个流形其实是一个空间,在你周围的每一个点,局部看起来像欧式空间也就是我们熟悉的观察到的我们周围的空间。想象一下地球由棋盘或者网格覆盖,像经度、纬度一样。这就是笛卡尔于十七世纪引入几何学的坐标体系。在格子中的每一点上,空间看起来是平的,有限的。但是实际上它是弯曲的,一个球面。我们用复数代替实数来测量一个复流形,复数就是其中一个坐标是一个实数和负数1的平方根的乘积-也就是我们说的虚数i (因为两个负数的乘积是正数,通常数学上认为负数1的平方根是不可能存在的-所以取名为“虚数”)。

 

复流形和复数如何帮助我们理解空间的结构?

 

    空间并不是你在日常生活中看见的某种事物。你能够辨识局部的几何图像,但是你无法构想出整体的大图像,你只能想象它和通过坐标来反映它。你划出经、纬线来给陆地定坐标系统。但是这个系统在南北极上失效,因为在两极,所有的线都交汇了。为了得到一个这些地区的更完备的图像,我们需要另外的,更加局部化的坐标系统以求得到更多细节。最后,我们需要将多个这样的坐标系粘合在一起得到整个球面的具体图像。

我们用这种方法描绘更一般的空间,而并不局限于我们所生活的三维空间。从数学角度而言,我们能够假设任何维度:234510,这只不过是在格子上添加另外的坐标。在一个复空间中,坐标系中的每一个数描述不单是一个维度,而是两个维度。最重要的是,复数使得从一个坐标系向另一个坐标系的运动变得简单,在研究高维的弦理论时,这是一个必要的步骤。

 

您最著名的工作是解决卡拉比猜想,这在当时是高维数学中一个主要的未解决的难题。是什么吸引您去做的?

 

    我被一些能够深刻洞察几何和时空性质的重要问题所吸引。有时解决一个问题会给人创造出一种全新的思路,有时数学本身就是美丽的。我从事的问题,卡拉比猜想,就是一个关于复流形曲率的非常漂亮的论述。

 

上面所说的“曲率”是什么?因为您没有谈到我们日常感受到的某种曲线。

 

曲率是二阶的信息-比如,假如我正沿着高速公路驾驶一辆小车。小车的速度将会随着你所走的地方发生变化,那么你可以用在一维直线上速度的变化来衡量弯曲。还存在高斯曲率,它刻画的是二维曲面的曲率,定义为通过给定点的所有和曲面相切的曲线的曲率的最大值和最小值的乘积,对于更高维的空间,比如在我们周围的三维空间,我们计算通过一个点的所有二维曲面的曲率。最后还有里奇曲率,它是沿着同一个方向相互相切的所有二维曲面的曲率的平均。本质上,里奇曲率是空间全曲率的部分的平均。这是一个抽象的几何概念,但它是基本的。

 

 

为什么里奇曲率是基本的?

 

在物理中,里奇曲率是物质的类比。里奇曲率为零的空间就是没有物质的空间——真空。

 

而这一切又与卡拉比猜想有何关系?

 

卡拉比说在特定的拓扑条件下,将会存在非平坦,封闭的,里奇曲率处处为零的复空间。这些空间有许多漂亮的性质。你可以发现在我写的第一篇论文中描述的低维环圈或环面——或者你也可以发现相交膜(简称“薄膜”,另一类拓扑形状)。我是百分之百确信卡拉比所说的空间不存在。没有数学家或物理学家发现一个这样的例子,大多数几何学家认为这太完美了而不相信。

 

那您接下来是怎么做的?

 

我花费大量时间去思考如何推翻卡拉比的猜想。1973年,我在纽约州立大学石溪分校任教并且计划转到斯坦福去。那年五月我正专注于我的那辆大众牌小汽车并常以80英里的速度在乡村公路上行驶。我以为美国是一个可以到处旅行的国家,但令我惊奇的是,我遇到的许多人告诉我他们从没有驶出离自己村庄十英里以外的地方。有时我经过落基山脉时,我的车子会在某处出故障。当我到达斯坦福几个月后,我以为我已经证明了卡拉比是错的。

 

推翻卡拉比猜想也已经是一个重大的成就。您是如何宣布它的?

 

八月份在斯坦福有一个有世界顶尖几何学家参加的大的会议,其中包括卡拉比。我与卡拉比交谈并告诉他我的想法。他说,“这听起来很宏大,你为什么不做一个关于它的报告给我?” 下午7点时,卡拉比带来宾夕法尼亚大学的一些同事并且还有一些其他人,来听我的报告,报告厅内有些拥挤,我报告了大约一个小时,卡拉比显得很激动。“我已经等待此刻很久了,我希望它是正确的,”他说。所有其他人都说,“太好了,我们终于停止希望卡拉比是正确的。” 而后卡拉比在十月份写信给我。他说,“我试图重建你的论证,我有些困难,你能解释细节吗?” 我开始重建它并且也发现了一个问题。我感到十分尴尬。那个时刻我没有回复卡拉比并且极其努力地尝试修补证明。但我无法完成,因此我到处寻找其他例子说明卡拉比是错的。我两个星期不能入睡。但每次我发现一个相关的例子,证明到最后都破碎了。最后我说道,哎呀,这不可能是一个美妙的东西。现在我在这个问题上有了更深的直觉并且感觉到整个事情中一定有某些正确的东西。我确信它一定是正确的。

 

因此在企图证明卡拉比猜想是错的所有工作之后,您确定它是正确的?

 

我开始发展工具来理解它,并且到1975年,证明只剩下最后一部分了。那年我妻子在洛杉矶找到了一份工作。我搬到了加州大学洛杉矶分校。不久后,我们结婚了,买了一辆车,在山谷中买了一套房子,并且购置家具。我母亲从香港来参加婚礼,然后她的父母到来——他们都呆在一个屋檐下,难免有些争执,我厌烦了这些嘈杂琐碎的事情。因此我把自己集中在关于卡拉比猜想的研究和思考上以避开家庭问题,最终我解决了整个问题。我把证明的细节检查了三次,然后我去见在宾夕法尼亚的卡拉比。在一个下雪的圣诞节,他偕同我一起拜访纽约大学的数学家尼伦伯格。我们花了圣诞节一整天的时间来检查它,而后我花了一个月的时间将证明整理发表。

 

这影响是巨大的,您瞬间成名了

 

它解决了代数几何中一些主要问题——大约一打问题。许多大学给我提供职位。

 

一些现在被称为卡拉比—丘空间的高维空间已被证明是弦理论的基础。这之间有什么联系?

 

当爱因斯坦在1915年发表他的广义相对论时,立刻就渴望统一引力和那个时候已知的其他一些力,如电磁力。数学家认为他们能够在五维空间中处理这个问题,四维空间加上一维时间。但物理学家发现了新的微粒并且需要额外的维数来支撑强作用和弱作用。完成这些工作以后,他们确信能够用现在所称的弦理论来解释宇宙,也就是用细长的震动弦来代替物理世界的微观粒子。为了与量子理论吻合,震动的弦必须在十维的空间里:三维空间,一维时间,和六维“紧空间”。紧空间的维数太小而无法用任何可想象的经验来感觉它。它们相当于纯粹的结构。恰好六维的卡拉比—丘空间有弦论中对应所需的特殊的拓扑特征。如果这些空间确实可作为弦论中六维空间的模型,他们将会帮助我们导出几何性质,并且扩展宇宙的物理规律。

 

 

一些宇宙学理论暗示存在其他宇宙,是否每个卡拉比—丘空间都能描述一个不同的宇宙规律?

是的,每个孤立的宇宙都可以用不同的卡拉比—丘空间作为模型。我的一些同事也研究了被称为“镜像对称”的漂亮猜测,在这个框架下,每个空间有一镜像并且具有相同的量子场论和相同的物理。

 

卡拉比—丘空间有多少?

 

利用计算机程序,在奥斯汀德克萨斯大学的菲利普·坎德拉斯教授找到了10000个卡拉比—丘空间,其中几乎有一半都有镜对象。每对成员拓扑互不相同,但仍然代数共形等价并使得它们对应的物理有相同的力,相同的粒子,相同的规则。几何结构的结果能被用来决定相关空间的物理量,比如粒子质量。

 

 

弦论常被认为是一种解释所有物理的漂亮的数学方法。但我们如何知道它是描述现实宇宙的?

 

我们还不能确信,但由弦论引起的数学解决了一些老的,持久的问题。这部分是严格的而且真实性不会被挑战。如果数学结构是深刻的,它将会以某种或其他种方式解释自然中一些事情,很难想象如此深刻的数学结构会没有用处。数学中每一个基本结构最终在物理世界中都会有意义。

 

您长期促进中国数学的发展,学术环境在过去这些年有哪些改变?

 

我首次回国是1979年,中国开放不久之后。那时候很贫困,是个艰难,也很混乱的时期。我看到有许多人没有受到教育,因此我觉得需要帮助他们。到1985年,我已经在美国教授了大约十五个到美国留学的中国研究生。首先是我的导师陈省身到中国建立了一个数学研究所。我并不想干涉他的工作,但他已很大岁数因此我开始经常访问国内。1994年我被要求做一次演讲。我在演讲中说中国的改革开放政策很伟大,现在我们必须加快脚步,通过培养年轻人来奠定学术基础。

 

最终您在中国创立了四个研究所,这是如何做到的?

 

我和中国前任主席江泽民见面后,他希望我帮助发展中国的数学。此后,在一位捐助人的帮助下,我在香港中文大学建立了数学科学研究所。随后,我又在祖国大陆建立了三个研究所——但国内总为合作方式而争论,而且一些大学也要求分享一部分资金。现在研究所已经能够独立地运行。我每年都回国五六次。

 

在过去十年里,你曾批评中国的科学和数学,为什么?

 

大学已被学术政治困扰,这让年轻人很难脱颖而出。中国改革开放时,处在一线的研究人员是一些五六十岁的人,他们现在仍然把持着学术,但由于年龄原因他们大多数已不能跟上最新的发展。有一些聪明的年轻人,为了使自己能够被认可而努力着。但他们常常是被国外承认之后,才被国内承认的。我说过,“给年轻人一些自由,”这让他们很不安。

 

 

您曾经说过要达到最高水平的成就,中国数学家还有很长路要走。而他们当中最好的一些人离开了这个国家。中国今日的数学和科学前景如何?

经济已经有了很大发展而且政府也愿意在科学上作更多的投资。因此长久来看,我认为前景是光明的。许多来美国学习的中国研究生将愿意回到中国。

 

中国与美国的关系发展得怎样?

 

对于学术界来说,中美之间我看到的是一个积极的关系。美国获得了来自中国的年轻人才资源。美国能够提供给他们按自己方式研究的环境,因此这些年轻人在这里学的很好,其中一部分人将会把他们学到的知识带回中国。但我的目标是,通过提供一个可以专注于研究的环境,做出工作就能得到承认的环境,为中国本土培养更多的年轻数学家。

 

您也批评过美国的学术体系。

 

年轻人有太大的压力。结果他们发表的证明经常是错的。在我发表卡拉比猜想证明之前,我检查了三次。许多年轻的数学家没有这样做。

 

大多数人并没有意识到政治数学是什么样子:俄国数学家佩尔曼证明了著名的庞加莱猜想的之后,2006年,纽约客杂志指责您抢夺功劳,这其中发生了什么?

 

庞加莱猜想的证明是一个复杂而令人生畏的过程,所以可以理解当佩尔曼公布他的手稿时,许多关键步骤仅仅只是粗略的概述。我的一个学生尽力填补里面的一些细节,并且我也支持他。我也说过我的朋友理查德·哈密尔顿, 哥伦比亚大学的几何学家,做了大量的奠基性工作,佩尔曼最终是依靠这些工作构造出他的证明。由于这些事情《纽约客》指责我窃取功劳,但这是很荒谬的。我认为是哈密尔顿—佩尔曼的庞加莱猜想的证明对数学家来说是一个巨大的胜利,我也全力支持佩尔曼获得菲尔兹奖章。哈密尔顿也应得到菲尔兹奖章,但由于年龄限制而失去资格(必须40岁以下)。我从来没有改变过我的看法。

 

物理学家经常谈论数学的美,这对你意味着什么?

 

我第一次见到我妻子时,我觉得她迷人——非常迷人,让我感到很震惊。这让我有了很大的动力去更多地了解她。当我看到卡拉比猜想时,它也让我震惊。它是一个美妙简单的结构而且解释了许多东西。当你越来越深入地进入一个能够让你花费大部分时间去研究的复杂结构时,这是非常令人激动的。当它出现在物理中时令人震惊,不管它是正确的还是错的,都很漂亮。

 

 

(万建明、吴御如、朱盛茂翻译, 徐浩、楼筱静校对)