摘要： 这里我们要汇报的是与 Rutgers 大学的杨波教授的合作工作。

给定厄米流形 M，上面有三个标准联络：黎曼（又称为 Levi-Civita）联络，厄米（又称为陈）联络，Bismut 联络。其中Bismut 联络是 M 上唯一的与度量及近复结构相容且其（3，0）绕率张量全反对称的联络。该联络在非凯勒卡拉比-丘空间的研究中十分重要，例如通常文献中所谓的“有绕卡拉比-丘空间”即是指基本群有限的三维紧厄米流形，其 Bismut 联络具有 SU(3) holonomy。当 M 为凯勒时，这三个标准联络全相等，非凯勒时，三者两两不同。我们希望从三个联络的基本几何量开始研究，最初等的问题便是：对给定的联络，空间形式是什么样的流形？更初等的是，平坦空间是什么？对厄米联络而言，Boothby 在1957年给出了紧致厄米平坦流形的完全刻画：他们的万有覆叠空间是复李群带左不变度量。（当维数至少为3时，可以是非凯勒的）。对黎曼联络而言，我们证明了紧致黎曼平坦的厄米流形必凯勒，从而其有限覆盖为平坦复环。在这篇工作里，我们对紧致 Bismut 平坦的厄米流形作出分类。这类流形的万有覆叠空间是一个实李群，上面带有双不变度量，及相容的左不变复结构。具体到二维，Bismut 平坦的紧厄米曲面，在非凯勒时正好是所有Class 1的Hopf 曲面。而在三维，除凯勒情形以及 Hopf 曲面与椭圆曲线的乘积之外，这种流形的有限覆盖正好是 Calabi-Eckmann 流形（两个三维球面的乘积）。